1
Calcule cu numere reale
Rezultatul calculului \(\left(\frac23\right)^{-2}+0,(3)\cdot6-\sqrt{16}\) este egal cu:
Exerciții pregătitoare pentru EN
prof. Lukacs Tiberiu
Algebră — itemi de tip Partea I
2
Rapoarte și proporții — mărimi invers proporționale
Dacă \(12\) muncitori termină o lucrare în \(15\) zile, atunci numărul de muncitori necesari pentru a termina aceeași lucrare în \(9\) zile, lucrând în același ritm, este:
3
Statistică — date din diagramă
Diagrama alăturată prezintă numărul elevilor care au obținut notele \(5,6,7,8,9\) la un test. Media aritmetică a notelor este:
4
Divizori și multipli
Două numere naturale \(a<b\) au suma \(24\), iar cel mai mare divizor comun al lor este \(6\). Numerele a și b sunt:
Geometrie — itemi de tip Partea a II-a
5
Drepte paralele și secantă
În figura alăturată, dreptele \(a\) și \(b\) sunt paralele, iar \(t\) este secantă. Unghiurile \(\angle 1\) și \(\angle 2\) sunt direct proporționale cu 7 și 2. Măsura unghiului ascuțit format de secanta \(t\) cu dreptele paralele este:
6
Lungimi de segmente — două mijloace
Pe segmentul \(AB\) se află punctul \(C\), astfel încât \(AC=10\) cm și \(CB=14\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul lui \(AC\), iar punctul \(N\) este mijlocul lui \(CB\). Lungimea segmentului \(MN\) este:
7
Triunghi dreptunghic
În triunghiul dreptunghic \(ABC\), cu \(\angle A=90^\circ\), \(AB=6\) cm și \(AC=8\) cm, punctul \(M\) este mijlocul ipotenuzei \(BC\). Distanța de la punctul \(B\) la dreapta \(AM\) este:
8
Dreptunghi — centru de greutate
În dreptunghiul \(ABCD\), diagonalele se intersectează în \(O\), iar \(AB=12\) cm și \(BC=8\) cm. Dacă \(G\) este centrul de greutate al triunghiului \(AOB\), atunci distanța de la \(G\) la dreapta \(AB\) este:
Exerciții dezvoltate
9
Expresie rațională
Se consideră expresia
\[
E(x)=\left(\frac{x^2+x-2}{x-1}+\frac{x^2-4}{x+2}-\frac{x^2-1}{x+1}\right):\frac{x+1}{x^2+x-1}.
\]
Condiții de existență: \(x\neq 1\), \(x\neq -2\), \(x\neq -1\), \(x\neq \frac{-1-\sqrt5}{2}\), \(x\neq \frac{-1+\sqrt5}{2}\).
- Adu la forma cea mai simplă expresia \(E(x)\).
- Arată că pentru orice număr natural \(n\ge 2\), \(E(n)\) este un număr natural impar.
Răspuns: Condițiile de existență sunt cele afișate în enunț: numitorii trebuie să fie nenuli, iar fracția la care se împarte trebuie să fie definită și nenulă.
Factorizăm:
\[
x^2+x-2=(x+2)(x-1),\quad x^2-4=(x-2)(x+2),\quad x^2-1=(x-1)(x+1).
\]
Rezultă
\[
E(x)=\left(x+2+x-2-(x-1)\right):\frac{x+1}{x^2+x-1}
=(x+1):\frac{x+1}{x^2+x-1}.
\]
Deci
\[
E(x)=(x+1)\cdot\frac{x^2+x-1}{x+1}=x^2+x-1.
\]
Pentru \(n\ge 2\), avem \(E(n)=n^2+n-1=n(n+1)-1\). Produsul \(n(n+1)\) este par, deci \(n(n+1)-1\) este impar. În plus, pentru \(n\ge2\), \(E(n)\ge5\), deci \(E(n)\) este număr natural impar.
10
Prismă patrulateră regulată
În figura alăturată este reprezentată prisma patrulateră regulată \(ABCD A'B'C'D'\), cu baza pătrat, \(AB=6\) cm și înălțimea prismei \(AA'=6\sqrt2\) cm. Diagonala prismei considerată este \(AC'\).
- Calculează volumul prismei.
- Calculează distanța de la punctul \(B\) la dreapta \(AC'\).
- Află măsura unghiului format de dreapta \(AC'\) cu planul bazei \((ABC)\).
Răspuns: Aria bazei este \(A_b=6^2=36\text{ cm}^2\), deci volumul este \(V=A_b\cdot AA'=36\cdot6\sqrt2=216\sqrt2\text{ cm}^3\). În triunghiul dreptunghic \(ACC'\), avem \(AC=6\sqrt2\) și \(CC'=6\sqrt2\), deci \(AC'=\sqrt{(6\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2}=12\) cm. Pentru distanța de la \(B\) la dreapta \(AC'\), observăm că aria triunghiului \(ABC'\) este \(\frac{AC'\cdot d(B,AC')}{2}\). Cum \(AB\perp BC'\), iar \(AB=6\) și \(BC'=\sqrt{6^2+(6\sqrt2)^2}=6\sqrt3\), rezultă \(A_{ABC'}=\frac{6\cdot6\sqrt3}{2}=18\sqrt3\). Așadar \(d(B,AC')=\frac{2\cdot18\sqrt3}{12}=3\sqrt3\) cm. Unghiul format de dreapta \(AC'\) cu planul bazei este de 45 grade.
Butoanele sunt interactive pe ecran; la printare rămâne fișa curată, fără feedback afișat.