1
Calcule cu numere reale
Rezultatul calculului \(\left(\frac32\right)^2+\left(\frac13\right)^{-2}-0,(6)\cdot6-\sqrt{144}\) este egal cu:
Exerciții pregătitoare pentru EN
prof. Lukacs Tiberiu
Algebră — itemi de tip Partea I
2
Rapoarte și proporții
Numerele pozitive \(x\), \(y\), \(z\) sunt invers proporționale cu \(2\), \(3\), respectiv \(6\). Dacă \(x-y=8\), atunci suma \(x+y+z\) este:
3
Intervale și numere întregi
Numărul valorilor întregi \(x\in[-2,4]\), pentru care expresia \(\frac{x+1}{x-3}\) este număr întreg, este:
4
Probabilități și divizori
Se alege la întâmplare un divizor pozitiv al numărului \(180\). Probabilitatea ca divizorul ales să fie multiplu de \(6\) este:
Geometrie — itemi de tip Partea a II-a
5
Cerc — tangentă și coardă
În figura alăturată, dreapta \(t\) este tangentă la cerc în punctul \(A\), iar \(AB\) este coardă. Dacă unghiul dintre tangenta \(t\) și coarda \(AB\) este \(58^\circ\), atunci măsura unghiului înscris \(\angle ACB\) este:
6
Linia mijlocie în triunghi
În triunghiul \(ABC\), punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele laturilor \(AB\), respectiv \(AC\). Dacă \(P_{ABC}=42\) cm și \(BC=16\) cm, atunci perimetrul patrulaterului \(BMNC\) este:
7
Paralelogram — arie
În figura alăturată, \(ABCD\) este paralelogram, \(AB=13\) cm, \(AD=10\) cm, iar \(H\) proiecția lui \(D\) pe dreapta \(AB\) determină cu \(A\) , segmentul \(HA\) de lungime \(6\) cm. Aria paralelogramului este:
8
Con circular drept
Un con circular drept are raza bazei \(r=5\) cm și generatoarea \(g=13\) cm. Volumul conului este:
Exerciții dezvoltate
9
Funcție liniară și arie
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=mx+n\), al cărei grafic trece prin punctele \(A(2,5)\) și \(B(-1,-4)\).
- Determină numerele reale \(m\) și \(n\).
- Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele de coordonate.
- Calculează aria triunghiului determinat de graficul funcției și axele de coordonate.
Răspuns: Din \(2m+n=5\) și \(-m+n=-4\), scăzând ecuațiile, obținem \(3m=9\), deci \(m=3\), iar \(n=-1\). Funcția este \(f(x)=3x-1\). Intersecția cu \(Oy\) este \((0,-1)\), iar intersecția cu \(Ox\) se obține din \(3x-1=0\), deci \(\left(\frac13,0\right)\). Aria triunghiului este \(A=\frac{1\cdot\frac13}{2}=\frac16\).
10
Piramidă patrulateră regulată
În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată \(VABCD\), cu baza pătrat, \(AB=6\) cm și înălțimea \(VO=3\sqrt2\) cm, unde \(O\) este centrul bazei.
- Calculează volumul piramidei.
- Calculează aria laterală a piramidei.
- Calculează sinusul unghiului format de muchia laterală \(VA\) cu planul bazei.
Răspuns: Aria bazei este \(A_b=6^2=36\text{ cm}^2\), deci \(V=\frac{A_b\cdot VO}{3}=\frac{36\cdot3\sqrt2}{3}=36\sqrt2\text{ cm}^3\). Dacă \(M\) este mijlocul lui \(AB\), atunci \(OM=3\) și \(VM=\sqrt{VO^2+OM^2}=\sqrt{18+9}=3\sqrt3\). Aria laterală este \(A_l=4\cdot\frac{6\cdot3\sqrt3}{2}=36\sqrt3\text{ cm}^2\). Deoarece \(OA=3\sqrt2\), în triunghiul dreptunghic \(VOA\), avem \(VA=\sqrt{(3\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2}=6\), deci \(\sin\angle(VA,(ABC))=\frac{VO}{VA}=\frac{3\sqrt2}{6}=\frac{\sqrt2}{2}\).
