Calcul cu litere
Algebră · Clasa a VIII-a

Operații cu numere reale
reprezentate prin litere

Lecția 1: adunarea și scăderea
① De ce litere?② Termeni și coeficienți③ Termeni asemenea④ Reducerea termenilor⑤ Paranteze⑥ Valoarea numerică⑦ Exersăm

Navigare: ← → sau butoanele de jos · ✏️ poți scrie pe orice slide

3x−2y+5x+√2xy+7y−xy
⇣
8x + 5y + (√2 − 1)xy

La librărie

Ana cumpără 3 caiete și 2 pixuri. Mihai cumpără 5 caiete și 4 pixuri.

Cât plătesc împreună, dacă nu știm prețurile?

Notăm cu c prețul unui caiet și cu p prețul unui pix.
Ana: 3c + 2p    Mihai: 5c + 4p
(3c + 2p) + (5c + 4p) = 8c + 6p
Am adunat caietele cu caietele și pixurile cu pixurile. Nu putem aduna caiete cu pixuri!
Ana
📒📒📒 ✏️✏️
Mihai
📒📒📒📒📒 ✏️✏️✏️✏️
Împreună
📒📒📒📒📒📒📒📒
✏️✏️✏️✏️✏️✏️

Expresia algebrică

Definiție. Se numește expresie algebrică o succesiune de numere și/sau litere legate între ele prin operații aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere).

Exemple:

7x7x7√3x7√3x − 8y2
Observație. Cu expresiile algebrice se pot efectua aceleași operații care se efectuează cu numerele reale: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere. Aceste operații au aceleași proprietăți pe care le au operațiile cu numere reale.

Le folosim deja!

  • perimetrul dreptunghiului: P = 2L + 2l
  • aria pătratului: A = l2
  • prețul a n bilete de câte 15 lei: 15n
  • un număr par: 2k; un număr impar: 2k + 1

Literele țin locul unor numere reale.

Termen, coeficient, parte literală

−8x2y3z
↑ coeficientul termenului
↑ partea literală

a) Termen

Cea mai simplă expresie algebrică, obținută doar prin înmulțire cu numere și/sau litere.

7,  x,  xy,  8z2y3

b) Coeficient

Numărul care apare în scrierea termenului.

−7xy2 → −7
18√3x2z → 18√3
−0,(7)zt2 → −0,(7)

c) Partea literală

Literele care intră în scrierea termenului.

−81x → x
−8x2y3z → x2y3z

Atenție: x are coeficientul 1, iar −ab are coeficientul −1 (cifra 1 nu se scrie).

Termeni asemenea

Definiție. Se numesc termeni asemenea acei termeni care conțin aceeași succesiune de litere la aceiași exponenți.

Exemple:

a)  −3x + 9 + 6xtermenii asemenea sunt −3x și 6x
b)  7√5 + 11a − 7x3z + 2√5 + 35x3z7√5 și 2√5, respectiv −7x3z și 35x3z
✔ 4a2b și −a2b   ✔ √2m și m
✘ 2x2 și 5x   ✘ xy2 și x2y

Joc: colorează familiile

Fiecare termen face parte dintr-o „familie” de termeni asemenea. Elevii spun familia, apoi atingeți termenul ca să verificați.

familia lui xfamilia lui x2familia lui xytermeni liberisingur: xy2

Reducerea termenilor asemenea

a) Adunarea sau scăderea a doi termeni asemenea este operația prin care se obține un termen asemenea cu cei inițiali, iar coeficientul noului termen se obține efectuând operațiile indicate asupra celor doi coeficienți.
b) Operațiile de adunare și scădere efectuate cu termeni asemenea se numesc operații de reducere a termenilor asemenea.

Exemple:

i) 7x + 5x = 12x
ii) −7xy + 2xy = −5xy
iii) −3x2 − 8x2 = −11x2

De ce? Distributivitatea: 7x + 5x = (7 + 5)x = 12x.

🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎+🍎🍎🍎🍎🍎
=🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎🍎
7x + 5x = 12x
🍎🍎+🍐🍐🍐=?
2x + 3y — nu se mai poate reduce!

Forma canonică a unei expresii

c) O expresie algebrică este considerată a fi scrisă în forma canonică dacă nu conține termeni asemenea.

Exemplul a)

−3x + 9 + 6x

= 3x + 9

forma canonică

Exemplul b)

7√5 + 11a − 7x3z + 2√5 + 35x3z

= 9√5 + 11a − 325x3z

forma canonică

A aduce o expresie la forma canonică înseamnă a reduce toți termenii asemenea.

Exemple rezolvate

a) 7a − 2a + a = (7 − 2 + 1)a = 6a
b) 4x2 − 6x2 + x2 = −x2
c) 2xy + 5x − 3yx + x = (2xy − 3xy) + (5x + x) = −xy + 6x
d) √2a + 3√2a − a = (4√2 − 1)a
e) 12m − 13m = (36 − 26)m = 16m

Cum lucrăm

  1. Subliniem cu aceeași culoare termenii asemenea.
  2. Îi grupăm (comutativitate).
  3. Adunăm coeficienții.
  4. Ordonăm rezultatul (de obicei după puterile descrescătoare).
Coeficienții pot fi orice numere reale: fracții, radicali…

Vânătoare de greșeli

Toate calculele de mai jos sunt greșite. Găsește greșeala, apoi atinge cartonașul!

3x + 2y = 5xyCorect sau greșit?
✘ 3x + 2y nu se reduce (termeni neasemenea).
x + x = x2Corect sau greșit?
✘ x + x = 2x (adunare, nu înmulțire).
5a − a = 5Corect sau greșit?
✘ 5a − a = 4a (coeficientul lui a este 1).
2x2 + 3x = 5x3Corect sau greșit?
✘ nu se reduce: exponenți diferiți.
7m − 7m = mCorect sau greșit?
✘ 7m − 7m = 0.
−3b − 2b = −bCorect sau greșit?
✘ −3b − 2b = −5b.

Exersăm (1): reduceți termenii asemenea

a) 9x − 4x + 2x = 7x
b) −3a + 8a − 5a = 0
c) 6y2 − 2y + y2 − 5y = 7y2 − 7y
d) ab − 4a + 3ba + 2a = 4ab − 2a
e) 2√3x − √3x + 5x = (√3 + 5)x
f) 34t − t + 12t = 14t
Verificare: alegeți o valoare pentru literă (de exemplu x = 1) și calculați ambele forme. Trebuie să obțineți același număr!

Produsul dintre un număr și o expresie

d) Produsul dintre un număr real și o expresie algebrică se efectuează înmulțind acest număr cu fiecare coeficient al termenilor ce compun expresia algebrică, cu respectarea regulilor de calcul cu numere reale.

Exemplu:  3(2x2 − 5x + 5) − (4x2 + 3x + 3y) − 4(x + y)

3(2x2 − 5x + 5) = 6x2 − 15x + 15
−(4x2 + 3x + 3y) = −4x2 − 3x − 3y  (înmulțim cu −1)
−4(x + y) = −4x − 4y
= 6x2 − 15x + 15 − 4x2 − 3x − 3y − 4x − 4y
= 2x2 − 22x − 7y + 15

Desfacerea parantezelor

„+” în fața parantezei

Scriem termenii la fel, fără paranteză:

a + (b − c) = a + b − c

5x + (2x − 3) = 5x + 2x − 3 = 7x − 3

„−” în fața parantezei

Schimbăm semnul fiecărui termen din paranteză:

a − (b − c) = a − b + c

5x − (2x − 3) = 5x − 2x + 3 = 3x + 3

De ce? −(b − c) înseamnă (−1) · (b − c) = −b + c (distributivitate).

Minusul schimbă TOATE semnele

4a − (3a− 2b+ 5− c)
= 4a − 3a+ 2b− 5+ c
= a + 2b + c − 5
Greșeala clasică: schimbăm doar semnul primului termen. Minusul „trece” ca un tăvălug peste toată paranteza!

Exemple rezolvate

a) (3x − 2y) + (x + 5y) = 4x + 3y
b) (5a − 3b) − (2a − 4b) = 5a − 3b − 2a + 4b = 3a + b
c) 7 − (2m − 3) − (5 − 2m) = 7 − 2m + 3 − 5 + 2m = 5
d) 2x − [x − (3 − x)] = 2x − (x − 3 + x) = 2x − 2x + 3 = 3
La parantezele „una în alta” începem cu cea din interior.

Exersăm (2): desfaceți parantezele și reduceți

a) (2a + 7) + (3a − 9) = 5a − 2
b) (6x − y) − (4x − 3y) = 2x + 2y
c) −(n2 − 3n) + (2n2 − n) = n2 + 2n
d) 10 − (4 − 3x) − (2x + 6) = x
e) (√2a − b) − (a − √2b) = (√2 − 1)a + (√2 − 1)b
f) 3x − [2x − (x − 4)] = 2x − 4

Suma și diferența a două expresii

Se consideră A = 3x2 − 2x + 1 și B = x2 + 5x − 4.

A + B

= (3x2 − 2x + 1) + (x2 + 5x − 4)
= 3x2 + x2 − 2x + 5x + 1 − 4
= 4x2 + 3x − 3

A − B

= (3x2 − 2x + 1) − (x2 + 5x − 4)
= 3x2 − 2x + 1 − x2 − 5x + 4
= 2x2 − 7x + 5
Când înlocuim o expresie într-un calcul, o scriem între paranteze!

Valoarea numerică a unei expresii

Înlocuim literele cu numere date și efectuăm calculele. Sfat: întâi reducem termenii asemenea, apoi înlocuim!

Calculați E = 5x − 3 − 2x + 7 − x pentru x = √2.

E = 2x + 4
E = 2√2 + 4

O surpriză: E(a, b) = (3a − b) − (a − 2b) − (2a − b)

E = 3a − b − a + 2b − 2a + b = 2b
Valoarea lui E nu depinde de a! Pentru b = −3, E = −6, oricare ar fi a.
Calculator: E = 2x + 4

Alege o valoare pentru x și compară cu forma neredusă.

Probleme (1)

Perimetrul triunghiului

2x + 33x − 1x + 4

a) Scrieți perimetrul ca expresie redusă.

P = (2x + 3) + (3x − 1) + (x + 4) = 6x + 6

b) Calculați perimetrul pentru x = 2.

P = 18 cm

Banii copiilor

Ana are x lei. Ion are cu 7 lei mai mult decât Ana, iar Maria are cu 3 lei mai puțin decât Ion.

a) Câți lei are Maria?

x + 7 − 3 = x + 4

b) Câți lei au împreună?

x + (x + 7) + (x + 4) = 3x + 11

c) Cât au împreună dacă Ana are 20 de lei?

3 · 20 + 11 = 71 de lei

Probleme (2): provocări

1. Arată că nu depinde de x

E = (7x − 4) − (3x + 2) − (4x − 9)

E = 7x − 4 − 3x − 2 − 4x + 9 = 3, pentru orice x ∈ ℝ.

2. Completează

(5a2 − 2a) + (…) = 3a2 + a

… = 3a2 + a − 5a2 + 2a = −2a2 + 3a

3. Suma a trei numere consecutive

Arătați că suma a trei numere naturale consecutive este divizibilă cu 3.

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) ⋮ 3

4. Cu radicali

(√3x − 2) − (x − 2√3) + 2(1 − √3)

= √3x − 2 − x + 2√3 + 2 − 2√3 = (√3 − 1)x

Verifică-te!

1. 4x + 3x =

2. 5a − 5a =

3. Care termeni sunt asemenea?

4. a − (b − c) =

5. (3m + 1) − (m − 5) =

6. 2x + 3y se poate scrie mai simplu?

Ce am învățat · Temă

Pe scurt

  • Expresie algebrică: numere și/sau litere legate prin operații.
  • Termen = coeficient · parte literală (ex.: −8x2y3z).
  • Termenii asemenea conțin aceeași succesiune de litere la aceiași exponenți.
  • Reducerea: efectuăm operațiile cu coeficienții, păstrăm partea literală.
  • Forma canonică: fără termeni asemenea.
  • a · (…): înmulțim numărul cu fiecare coeficient; −(…) schimbă toate semnele.

Temă

  1. Reduceți: a) 8a − 3a + 5 − 2a; b) x2 − 4x + 3x2 + 6x − 1; c) √5m − 2m + 3√5m.
  2. Aduceți la forma canonică: a) 2(4x − 3) − (x − 7); b) 9 − [2a − (5 − a)].
  3. A = 2x2 − x + 3, B = x2 + 4x − 1. Calculați A + B, A − B și valoarea lui A − B pentru x = −1.
  4. Arătați că E = (2a + 3b) − (a − b) − (a + 4b) nu depinde de a și b.