Calcul cu litere
Algebră · Clasa a VIII-a

Operații cu numere reale
reprezentate prin litere

Lecția 2: înmulțirea
1. Captarea atenției2. Reactualizarea cunoștințelor3. Anunțarea temei4. Dirijarea învățării5. Obținerea performanței6. Feedback7. Retenție și transfer

Navigare: ← → · la exerciții, atinge un exercițiu ca să vezi rezultatul · ✏️ poți scrie pe orice slide

3x2·4x5
⇣
12x7
2x·(x + 3)
⇣
2x2 + 6x

Ghicesc rezultatul tău!

Fiecare elev se gândește la un număr natural (fără să-l spună).

  1. Înmulțește numărul cu 2 mai mare decât el cu numărul cu 2 mai mic decât el.
  2. Din rezultat scade pătratul numărului ales.
  3. Ce ați obținut?
Toți ați obținut −4! 😮

Cum am știut? Vom afla la sfârșitul lecției, cu ajutorul calculului cu litere.

Exemple

numărcalculrezultat
57 · 3 − 25−4
1012 · 8 − 100−4
3739 · 35 − 1369−4

Ne reamintim: reguli de calcul cu puteri

am · an = am + n
23 · 24 = 27
înmulțire: adunăm exponenții
am : an = am − n
59 : 56 = 53
împărțire: scădem exponenții
(am)n = am · n
(32)4 = 38
putere la putere: înmulțim exponenții
(a · b)n = an · bn
(2x)3 = 8x3
puterea unui produs
a1 = a, a0 = 1 (a ≠ 0)
71 = 7, 20260 = 1
cazuri particulare
(−a)par = apar, (−a)impar = −aimpar
(−2)4 = 16, (−2)3 = −8
semnul puterii

Calcul rapid cu puteri

a) 34 · 35 = 39
b) x3 · x4 = x7
c) a · a5 = a6
d) y8 : y3 = y5
e) (m2)3 = m6
f) (−a)3 = −a3
g) (−3)2 și −32 = 9 și −9
h) (23)3 = 827

Adevărat sau fals?

Votați cu mâna: A sau F? Apoi atingeți cartonașul.

x2 · x3 = x6Adevărat sau fals?
Fals: x2 · x3 = x5 (adunăm exponenții).
(x2)3 = x6Adevărat sau fals?
Adevărat: înmulțim exponenții.
x · x = 2xAdevărat sau fals?
Fals: x · x = x2; x + x = 2x.
(3x)2 = 3x2Adevărat sau fals?
Fals: (3x)2 = 9x2.
(−x)4 = −x4Adevărat sau fals?
Fals: exponent par ⇒ (−x)4 = x4.
a0 = 0Adevărat sau fals?
Fals: a0 = 1 (a ≠ 0).

Astăzi învățăm: înmulțirea numerelor reale reprezentate prin litere

La sfârșitul lecției vei ști să:

  1. înmulțești doi termeni;
  2. ridici la putere un termen;
  3. înmulțești un termen cu o sumă;
  4. înmulțești două sume;
  5. folosești aceste calcule în probleme.

Ideea principală

a(b + c) = ab + ac

Toate regulile de azi vin din regulile puterilor și din distributivitate – le folosim exact ca la numere.

1. Înmulțirea a doi termeni

Înmulțim coeficienții între ei și părțile literale între ele (la aceeași literă adunăm exponenții).
3x2 · 4x5 = (3 · 4) · (x2 · x5) = 12x7
Exemple
a) 5x · 3x = 15x2
b) (−2a) · 4a3 = −8a4
c) 2xy · 3x = 6x2y

De ce?

Un dreptunghi cu laturile 3x și 2y:

xyxyxyxyxyxyxxxyy3x2y

3x · 2y = 6xy

2. Puterea unui termen

Ridicăm la putere fiecare factor: coeficientul și fiecare literă.
(a · xm)n = an · xm · n
Exemple
a) (2x)3 = 8x3
b) (−3a2)2 = 9a4
c) (−x2y)3 = −x6y3

Atenție!

(2x)3 ≠ 2x3

(2x)3 = 2x · 2x · 2x = 8x3

2x3 = 2 · x · x · x

3. Înmulțirea unui termen cu o sumă

Înmulțim termenul cu fiecare termen al sumei (distributivitatea):
a(b + c) = ab + ac
Exemple
a) 3(x + 4) = 3x + 12
b) 2x(3x − 5) = 6x2 − 10x
c) −a(a − 2) = −a2 + 2a

Modelul ariei

a · ba · cb + cbca

a(b + c) = ab + ac

4. Înmulțirea a două sume

Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua, apoi reducem termenii asemenea.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemple
a) (x + 3)(x + 5) = x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15
b) (a − 2)(a + 4) = a2 + 4a − 2a − 8 = a2 + 2a − 8
c) (2y + 1)(y − 3) = 2y2 − 6y + y − 3 = 2y2 − 5y − 3

Modelul ariei

x · x= x²x · 5= 5x3 · x = 3x3 · 5 = 15x + 5x + 3x5x3

(x + 3)(x + 5) = x2 + 8x + 15

Exercițiul 1. Înmulțiți termenii

De bază
a) 4x · 2x = 8x2
b) 3a · (−5a) = −15a2
c) y2 · 6y = 6y3
d) (−2m) · (−3m2) = 6m3
e) 5ab · 2a = 10a2b
f) (−x) · 7x4 = −7x5

Exercițiul 2. Calculați puterile

De bază
a) (3x)2 = 9x2
b) (−2a)3 = −8a3
c) (y2)4 = y8
d) (−5m)2 = 25m2
e) (2x3)2 = 4x6
f) (xy)5 = x5y5

Exercițiul 3. Desfaceți parantezele

De bază
a) 2(x + 5) = 2x + 10
b) x(x − 4) = x2 − 4x
c) −3(a − 2) = −3a + 6
d) 4y(2y + 1) = 8y2 + 4y
e) −(x2 − 3x + 2) = −x2 + 3x − 2
f) 5m(m2 − m) = 5m3 − 5m2

Exercițiul 4. Înmulțiți parantezele

Consolidat
a) (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8
b) (a − 3)(a + 5) = a2 + 2a − 15
c) (y − 1)(y − 7) = y2 − 8y + 7
d) (2x + 1)(x + 3) = 2x2 + 7x + 3
e) (3m − 2)(2m − 1) = 6m2 − 7m + 2
f) (x + 4)(x − 4) = x2 − 16
g) (a + b)(a − 2b) = a2 − ab − 2b2
h) (x + √2)(x − √2) = x2 − 2

Exercițiul 5. Desfaceți parantezele și reduceți

Consolidat
a) 3(a + 2) + 2(a − 3) = 5a
b) 2x(x − 3) − x(2x + 1) = −7x
c) y(y + 5) − 5(y + 1) = y2 − 5
d) (x + 1)(x + 2) − x2 = 3x + 2
e) (a − 1)(a + 3) − a(a + 2) = −3
f) 4m(m − 1) − (2m − 1)(2m + 1) = −4m + 1

Exercițiul 6. Completați căsuța

Consolidat
a) 3x2 · ▢ = 12x5 → ▢ = 4x3
b) −2a · ▢ = 10a2b → ▢ = −5ab
c) ▢ · (x − 2) = 4x2 − 8x → ▢ = 4x
d) (▢)2 = 9y6 → ▢ = 3y3 sau −3y3
e) (x + ▢)(x + 3) = x2 + 5x + 6 → ▢ = 2
f) (x − 1)(x + ▢) = x2 + 3x − 4 → ▢ = 4

Exercițiul 7. Calcule mai complicate

Avansat
a) (−2x)3 · (x2)2 = −8x7
b) √2a · √6a3 = 2√3a4
c) 34m2 · (−89m) = −23m3
d) (12x2)3 = 18x6
e) (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 − 1
f) (2a − 3)(3 − 2a) = −4a2 + 12a − 9
g) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = 0
h) (x + 2)(x − 3) − (x − 1)(x − 2) = 2x − 8

Exercițiul 8. Valoarea numerică

Avansat
a) E = 2x(x − 1) − (x + 2)(x − 3), pentru x = −2 → E = x2 − x + 6 = 12
b) E = (a − 2)(a + 2) − a(a − 1), pentru a = √3 → E = a − 4 = √3 − 4
c) E = (x + 3)(x − 1) − (x − 2)(x + 4), pentru orice x → E = 5
d) E = 3m(m + 2) − (m + 1)(3m − 1), pentru m = 12 → E = 4m + 1 = 3

Exercițiul 9. Probleme

Avansat

1. Grădina

x + 5x + 2

a) Scrieți aria grădinii ca expresie redusă.

A = (x + 5)(x + 2) = x2 + 7x + 10

b) Calculați aria pentru x = 3 m.

A = 9 + 21 + 10 = 40 m²

2. Mărim și micșorăm

Latura unui pătrat este a. Mărim o latură cu 3 și micșorăm cealaltă cu 3. Cum se modifică aria?

(a + 3)(a − 3) = a2 − 9 ⇒ aria scade cu 9.

3. Nu depinde de x

E = (x + 1)(x + 2) − x(x + 3)

E = x2 + 2x + x + 2 − x2 − 3x = 2

Exersează în plus

Exercițiile sunt generate la întâmplare; fiecare elev poate primi altul.

Dezlegăm ghicitoarea de la început

Numărul ales: n. Numerele cu 2 mai mare și cu 2 mai mic: n + 2 și n − 2.

(n + 2)(n − 2) − n2
= n2 − 2n + 2n − 4 − n2
= −4
Rezultatul este −4 pentru orice număr ales – de aceea l-am „ghicit”!

Vânătoare de greșeli

Toate calculele sunt greșite. Găsește greșeala, apoi atinge cartonașul!

3x · 2x = 6xUnde este greșeala?
✘ 3x · 2x = 6x2
2(x + 3) = 2x + 3Unde este greșeala?
✘ 2(x + 3) = 2x + 6
−x(x − 2) = −x2 − 2xUnde este greșeala?
✘ −x(x − 2) = −x2 + 2x
(x + 3)(x + 5) = x2 + 15Unde este greșeala?
✘ lipsesc 5x și 3x: x2 + 8x + 15
(−2a)2 = −4a2Unde este greșeala?
✘ (−2a)2 = 4a2
x3 · x4 = x12Unde este greșeala?
✘ x3 · x4 = x7

Verifică-te!

1. x4 · x3 =

2. (−2a) · 3a2 =

3. (3x)2 =

4. (−y2)3 =

5. −x(x − 5) =

6. (x + 2)(x − 3) =

7. 2a · 3b · (−a) =

8. (a + 1)(a − 1) − a2 =

Pe scurt · Temă

Pe scurt

  • Termen · termen: coeficient cu coeficient, literă cu literă: 3x2 · 4x5 = 12x7.
  • Puterea unui termen: fiecare factor la putere: (−2x3)2 = 4x6.
  • Termen · sumă: a(b + c) = ab + ac.
  • Sumă · sumă: fiecare cu fiecare, apoi reducem.
  • Semnul: (−) · (−) = +, (−) · (+) = −.

Temă

  1. Calculați: a) −4a2b · 3ab3; b) (−2x2y)3; c) √5m · √20m2.
  2. Desfaceți parantezele și reduceți: a) 3x(x − 2) − x(3x + 1); b) (2a − 5)(a + 3); c) (x − 4)(x + 1) − (x − 2)(x − 1).
  3. Arătați că E = (x + 5)(x − 2) − x(x + 3) are aceeași valoare pentru orice x.
  4. Inventați o „ghicitoare” ca cea de la începutul orei și explicați-o cu calcul cu litere.