Corpuri rotunde, clasa a VIII-a prof. Lukacs Tiberiu Cilindrul și conul

Paharul, conserva și butoiul au forma unui cilindru. Cornetul de înghețată, pâlnia și coiful de petrecere au forma unui con. Recapitulăm cercul și sectorul de cerc, apoi vedem cum se obțin aceste corpuri prin rotație și cum se desfășoară pe plan.

  1. Amintește-ți: cercul și sectorul de cerc
  2. Cilindrul circular drept
  3. Conul circular drept
  4. Corpul în 3D: rotație și desfășurare
  5. Ce devin generatoarea și baza
  6. Probleme rezolvate
  7. Test rapid
1

Amintește-ți: cercul și sectorul de cerc

Desfășurarea cilindrului și a conului folosește cercul și sectorul de cerc. Mișcă glisoarele (un pătrățel al caroiajului = 1 cm): sectorul colorat este o parte din disc, iar arcul lui (cu roșu) este o parte din lungimea cercului.

6 cm
120°

Cercul de rază R

Lungimea cercului
L = 2πR
Aria discului
A = πR²

Sectorul de cerc de rază R și unghi u°

Lungimea arcului
ℓ = πRu180
Aria sectorului
As = πR²u360
Unghiul de 360° corespunde întregului cerc. Un sector de u° este fracția u360 din cerc, atât pentru arc, cât și pentru arie.
2

Cilindrul circular drept

Cum se obține

Cilindrul circular drept este corpul obținut prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale. Latura în jurul căreia se rotește devine axa cilindrului, iar latura opusă ei „mătură” suprafața laterală.

Elementele cilindrului

Bazeledouă discuri congruente, cu centrele O și O', în plane paralele
Raza Rraza bazelor: OA = OB = O'A' = R
Generatoarea Gorice segment AA' care unește un punct al cercului de jos cu punctul corespunzător de sus
Înălțimea hdistanța dintre bazele cilindrului: OO' = h
Axadreapta OO', perpendiculară pe planele bazelor
Secțiunea axialăsecțiunea făcută cu un plan care conține axa: dreptunghiul ABB'A'

Desenul cilindrului

Jumătatea din spate a cercului de jos nu se vede, deci se desenează punctat. Generatoarea AA' cu albastru, raza OB și axa OO' cu roșu.

Secțiunea axială

ABB'A' este un dreptunghi cu laturile AB = 2R (diametrul) și AA' = G. Diagonala lui se află cu teorema lui Pitagora.

La cilindrul circular drept, generatoarea este egală cu înălțimea: G = h. Toate generatoarele sunt paralele cu axa și egale între ele.
Dacă secțiunea axială este un pătrat (G = 2R), cilindrul se numește cilindru echilateral.
3

Conul circular drept

Cum se obține

Conul circular drept este corpul obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul uneia dintre catete. Cateta în jurul căreia se rotește devine înălțimea, cealaltă catetă devine raza bazei, iar ipotenuza devine generatoarea.

Elementele conului

Vârful Vpunctul în care se întâlnesc toate generatoarele
Bazaun disc cu centrul O și raza OA = R
Generatoarea Gorice segment VA, cu A pe cercul bazei; toate generatoarele sunt egale
Înălțimea hsegmentul VO, perpendicular pe planul bazei
Secțiunea axialătriunghiul isoscel VAB, unde AB este un diametru al bazei

Triunghiul VOA este dreptunghic în O, deci G² = h² + R².

Desenul conului

Triunghiul dreptunghic VOA (verde) este triunghiul care, rotit în jurul catetei VO, generează conul.

Secțiunea axială

VAB este un triunghi isoscel cu VA = VB = G și baza AB = 2R. Înălțimea lui este VO = h.

Dacă secțiunea axială este un triunghi echilateral (G = 2R), conul se numește con echilateral. Desfășurarea suprafeței lui laterale este un semicerc.
4

Corpul în 3D: rotație și desfășurare

Trage cu mouse-ul (sau degetul) pentru a roti corpul. Cu Formează prin rotație vezi cum dreptunghiul, respectiv triunghiul dreptunghic, generează corpul. Cu Desfășoară vezi cum suprafața se întinde pe plan.

Trage pentru a roti. Un pătrățel al grilei = 1 cm.
3 cm
8 cm
0%
Evidențiază pe model (urmărește-l și în desfășurare):
5

Ce devin generatoarea și baza în desfășurare

Tăiem suprafața laterală de-a lungul unei generatoare și o întindem pe masă. Culorile arată ce devine fiecare element: generatoarea, cercul bazei, baza.

Desfășurarea cilindrului

  • Generatoarea AA' devine latura mică a dreptunghiului. Lățimea dreptunghiului este G = h.
  • Cercul bazei se „îndreaptă” și devine latura lungă a dreptunghiului. Lungimea dreptunghiului este 2πR.
  • Bazele rămân două discuri de rază R, lipite de laturile lungi ale dreptunghiului.
  • Tăietura se face de-a lungul generatoarei AA'. Ea apare de două ori în desfășurare: AA' și A₁A'₁.
Suprafața laterală se desfășoară într-un dreptunghi de 2πR × G.
Aria lui este 2πR · G.

Desfășurarea conului

  • Generatoarea VA devine raza sectorului de cerc. Raza sectorului este G, nu R.
  • Cercul bazei devine arcul sectorului. Lungimea arcului este 2πR.
  • Vârful V devine centrul sectorului.
  • Baza rămâne un disc de rază R, lipit de arcul sectorului.
Suprafața laterală se desfășoară într-un sector de cerc cu raza G și arcul 2πR.

Cum aflăm unghiul sectorului de cerc din desfășurarea conului?

  1. Lungimea arcului sectorului, cu raza G și unghiul u°, este πGu180.
  2. Arcul este chiar cercul bazei „desfăcut”, deci are lungimea 2πR: πGu180 = 2πR.
  3. Simplificăm cu π și aflăm unghiul: u = 360° · RG.
  4. Exemplu: R = 6 cm, G = 10 cm, deci u = 360° · 6 : 10 = 216°.
Unghiul sectorului depinde doar de raportul RG. Raza R este întotdeauna mai mică decât generatoarea G, deci sectorul nu este niciodată un cerc întreg. Când G = 2R obținem un semicerc (180°).

Aria desfășurării laterale a conului

Aria sectorului este πG²u360. Înlocuim u = 360 · RG și obținem πG² · 360 · R360 · G = πRG. Această arie se poate calcula și direct, din raza și unghiul sectorului.

6

Probleme rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi apasă Arată pasul următor. Cu Vezi în 3D corpul din problemă se încarcă în explorator, deja desfășurat atunci când problema este despre desfășurare.

7

Verifică-te