Plane paralele
Geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a

Dreaptă paralelă cu un plan.
Plane paralele

Pozițiile unei drepte față de un plan · criteriul de paralelism · pozițiile a două plane · teoremele planelor paralele
① Ne reamintim② Dreaptă și plan③ Dreaptă ∥ plan④ Două plane⑤ Plane paralele⑥ Exemple⑦ Verifică-te

Navigare: ← → · desenele 3D se rotesc dacă le tragi · ✏️ scrie pe slide · lecția se poate parcurge în mai multe ore (capitolele de sus)

Ne reamintim

Axiome și determinarea planului

  • Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
  • Dacă două puncte ale unei drepte sunt într-un plan, atunci toată dreapta este în acel plan.
  • Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci au în comun o dreaptă.
  • Un plan este determinat de: trei puncte necoliniare; o dreaptă și un punct exterior ei; două drepte concurente; două drepte paralele.

Două drepte distincte în spațiu

  • concurente – coplanare, un punct comun;
  • paralele – coplanare, fără puncte comune;
  • necoplanare – nu există un plan care să le conțină.
  • Axioma paralelelor: printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la ea.
  • Tranzitivitate: a ∥ b, b ∥ c ⇒ a ∥ c.

Situație-problemă

Camera are forma cubului ABCDA′B′C′D′. Podeaua este planul (ABC).

Ce legătură are fiecare dreaptă cu podeaua?

AB – o margine a podelei: are toate punctele pe podea.
AA′ – un stâlp: atinge podeaua într-un singur punct, A.
A′B′ – o margine a tavanului: nu atinge podeaua niciodată.
O dreaptă și un plan pot avea: toate punctele comune, un singur punct comun sau niciun punct comun.

Pozițiile relative ale unei drepte față de un plan

dreaptă inclusă în plan

toate punctele dreptei sunt în plan

d ⊂ α

dreaptă secantă planului

un singur punct comun

d ∩ α = {A}

dreaptă paralelă cu planul

niciun punct comun

d ∩ α = ∅ ⇒ d ∥ α

⚠️ Nu există altă situație: dacă dreapta are două puncte comune cu planul, atunci (axiomă) ea este inclusă în plan. Partea dreptei aflată sub plan se desenează punctat.

Explorează în cub: dreaptă și plan

Alege o dreaptă și un plan. Ce poziție au? Apoi apasă Verifică.

Teorema 1 – criteriul de paralelism dreaptă–plan

Teoremă. Dacă o dreaptă d, neinclusă în planul α, este paralelă cu o dreaptă a din planul α, atunci dreapta d este paralelă cu planul α.
Scriere matematică
d ⊄ α
a ⊂ α
d ∥ a
⇒
d ∥ α
Demonstrație (prin reducere la absurd)
Dreptele paralele d și a determină un plan β; avem β ∩ α = a.
Presupunem că d intersectează α într-un punct P. Atunci P ∈ β (căci P ∈ d) și P ∈ α, deci P ∈ β ∩ α = a.
Dar atunci P ∈ d ∩ a – contradicție cu d ∥ a. Deci d ∩ α = ∅, adică d ∥ α. ∎
Ca să arătăm că o dreaptă e paralelă cu un plan, căutăm în plan o paralelă la ea.

Aplicații ale criteriului (1): în cub

În cubul ABCDA′B′C′D′ arătați că:

a) A′B′ ∥ (ABC)
A′B′ ⊄ (ABC)
A′B′ ∥ AB (ABB′A′ pătrat)
AB ⊂ (ABC)
⇒
A′B′ ∥ (ABC)
b) B′C ∥ (ADD′)
A′B′CD este dreptunghi (A′B′ ∥ DC și A′B′ = DC) ⇒ B′C ∥ A′D.
B′C ⊄ (ADD′)
B′C ∥ A′D
A′D ⊂ (ADD′)
⇒
B′C ∥ (ADD′)
c) BD ∥ (CB′D′)
BD ⊄ (CB′D′)
BD ∥ B′D′ (BDD′B′ dreptunghi)
B′D′ ⊂ (CB′D′)
⇒
BD ∥ (CB′D′)

Aplicații ale criteriului (2): linia mijlocie

VABCD este o piramidă patrulateră regulată, iar M, N sunt mijloacele muchiilor VA, VB. Arătați că:

a) MN ∥ (ABC)
În △VAB, MN este linie mijlocie ⇒ MN ∥ AB.
MN ⊄ (ABC)
MN ∥ AB
AB ⊂ (ABC)
⇒
MN ∥ (ABC)
b) MN ∥ (VCD)
MN ∥ AB
AB ∥ CD
⇒
MN ∥ CD
MN ⊄ (VCD)
MN ∥ CD
CD ⊂ (VCD)
⇒
MN ∥ (VCD)
Linia mijlocie a unei fețe este paralelă cu planul bazei.

Teorema 2 – o proprietate a dreptei paralele cu un plan

Teoremă. Dacă dreapta d este paralelă cu planul α, atunci orice plan β care conține dreapta d și intersectează planul α, îl intersectează după o dreaptă a paralelă cu d.
Scriere matematică
d ∥ α
d ⊂ β
β ∩ α = a
⇒
d ∥ a
Demonstrație
d ⊂ β
a ⊂ β
⇒
d, a coplanare
a ⊂ α
d ∩ α = ∅
⇒
d ∩ a = ∅
d, a coplanare
d ∩ a = ∅
⇒
d ∥ a ∎
Folosim teorema când vrem să găsim intersecția a două plane: ea este paralelă cu o dreaptă cunoscută.

Consecințe

Consecința 1. Dacă d ∥ α și A ∈ α, atunci paralela prin A la d este inclusă în planul α.
În cub: D′C′ ∥ (ABC), A ∈ (ABC); paralela prin A la D′C′ este AB, care este în planul (ABC).
Consecința 2. Dacă două plane secante sunt paralele cu o dreaptă d, atunci dreapta lor de intersecție este paralelă cu d.
În cub: (ABC) ∩ (ABB′) = AB. Dreapta D′C′ este paralelă cu ambele plane ⇒ AB ∥ D′C′.
Consecința 3. Dacă a ∥ b și a ∥ α, atunci b ∥ α sau b ⊂ α.
În cub: AB ∥ D′C′ și AB ∥ (A′B′C′), dar D′C′ ⊂ (A′B′C′).

Exemplu rezolvat: secțiunea MBC

VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu toate muchiile de 8 cm, M este mijlocul lui VA, iar planul (MBC) intersectează muchia VD în N. Arătați că MN ∥ AD și calculați perimetrul patrulaterului MNCB.

BC ⊄ (VAD)
BC ∥ AD
AD ⊂ (VAD)
⇒
BC ∥ (VAD) T1
BC ∥ (VAD)
BC ⊂ (MBC)
(MBC) ∩ (VAD) = MN
⇒
MN ∥ BC T2
MN ∥ BC, BC ∥ AD ⇒ MN ∥ AD.
În △VAD: M mijlocul lui VA, MN ∥ AD ⇒ N mijlocul lui VD, MN = AD2 = 4 cm.
BM, CN sunt mediane în triunghiuri echilaterale cu latura 8: BM = CN = 4√3 cm.
PMNCB = 4 + 8 + 2⋅4√3 = 12 + 8√3 cm (MNCB – trapez isoscel).

Pozițiile relative a două plane

plane secante

au în comun o dreaptă

α ∩ β = d

plane paralele

nu au niciun punct comun

α ∩ β = ∅ ⇒ α ∥ β

Două plane distincte care au un punct comun au în comun o dreaptă (axiomă). Deci două plane distincte sunt fie secante, fie paralele. (Planele care au toate punctele comune se numesc confundate.)

Explorează în cub: două plane

Ce poziție au planele? Rotește cubul, apoi apasă Verifică.

Teorema 3 – criteriul de paralelism a două plane

Teoremă. Dacă un plan α conține două drepte concurente a și b, paralele cu un plan β, atunci planele α și β sunt paralele.
Scriere matematică
a, b ⊂ α
a ∩ b = {P}
a ∥ β
b ∥ β
⇒
α ∥ β
Demonstrație (prin reducere la absurd)
Presupunem că α ∩ β = c.
a ∥ β
a ⊂ α
α ∩ β = c
⇒
a ∥ c (Teorema 2); analog b ∥ c
Prin P ar trece două paralele distincte la c – contradicție cu axioma paralelelor. Deci α ∥ β. ∎
În practică: găsim în α două drepte concurente a, b și în β două drepte a′ ∥ a, b′ ∥ b.

Aplicație în cub: (A′BD) ∥ (CB′D′)

În cubul ABCDA′B′C′D′ arătați că planele (A′BD) și (CB′D′) sunt paralele.

A′B ∥ D′C (A′BCD′ dreptunghi)
D′C ⊂ (CB′D′)
⇒
A′B ∥ (CB′D′)
BD ∥ B′D′ (BDD′B′ dreptunghi)
B′D′ ⊂ (CB′D′)
⇒
BD ∥ (CB′D′)
A′B, BD ⊂ (A′BD)
A′B ∩ BD = {B}
A′B ∥ (CB′D′)
BD ∥ (CB′D′)
⇒
(A′BD) ∥ (CB′D′) Teorema 3
Observație: diagonala AC′ a cubului „înțeapă” ambele plane. Rotiți cubul!

Aplicație: planul mijloacelor muchiilor laterale

VABC este o piramidă triunghiulară regulată cu AB = 12 cm, iar M, N, P sunt mijloacele muchiilor VA, VB, VC.

a) Arătați că (MNP) ∥ (ABC).
MN linie mijlocie în △VAB ⇒ MN ∥ AB ⇒ MN ∥ (ABC).
NP linie mijlocie în △VBC ⇒ NP ∥ BC ⇒ NP ∥ (ABC).
MN ∥ (ABC)
NP ∥ (ABC)
MN ∩ NP = {N}
⇒
(MNP) ∥ (ABC)
b) Calculați perimetrul și aria triunghiului MNP.
MN = NP = PM = 122 = 6 cm ⇒ △MNP echilateral; P = 18 cm.
A△MNP = 62√34 = 9√3 cm².

Teorema 4 – planul paralel printr-un punct exterior

Teoremă. Printr-un punct exterior unui plan trece un singur plan paralel cu planul dat.
Construcție (existența)
În planul β alegem două drepte concurente a′ și b′.
Prin A ducem a ∥ a′ și b ∥ b′ (axioma paralelelor).
a ∩ b = {A}, α = (a, b)
a ∥ β
b ∥ β
⇒
α ∥ β Teorema 3
Unicitatea se admite: orice plan prin A paralel cu β trebuie să conțină și pe a, și pe b (Consecința 1).
Consecință: prin A ∉ β trec o infinitate de drepte paralele cu β – toate sunt în planul α.

Teorema 5 – tranzitivitatea paralelismului planelor

Teoremă. Două plane distincte, paralele cu un al treilea plan, sunt paralele între ele.
Scriere matematică
α ∥ β
β ∥ γ
α ≠ γ
⇒
α ∥ γ
Demonstrație (prin reducere la absurd)
Presupunem că α și γ au un punct comun A.
Atunci prin A ar trece două plane distincte, α și γ, ambele paralele cu β – contradicție cu Teorema 4. ∎
Exemplu: într-o clădire, planele tuturor etajelor sunt paralele între ele.

Teorema 6 – două plane paralele tăiate de un al treilea

Teoremă. Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan, atunci dreptele de intersecție sunt paralele.
Scriere matematică
α ∥ β
γ ∩ α = a
γ ∩ β = b
⇒
a ∥ b
Demonstrație
a ⊂ α, b ⊂ β
α ∩ β = ∅
⇒
a ∩ b = ∅
a, b ⊂ γ (coplanare)
a ∩ b = ∅
⇒
a ∥ b ∎
Exemplu: planul diagonal (ACC′) al cubului taie bazele după AC și A′C′ ⇒ AC ∥ A′C′.

Teorema 7 – segmente paralele între plane paralele

Teoremă. Segmentele paralele cuprinse între două plane paralele sunt congruente.
Scriere matematică
α ∥ β
A, A′ ∈ α; B, B′ ∈ β
AB ∥ A′B′
⇒
AB = A′B′
Demonstrație
Dreptele paralele AB și A′B′ determină un plan γ.
α ∥ β
γ ∩ α = AA′
γ ∩ β = BB′
⇒
AA′ ∥ BB′ Teorema 6
ABB′A′ are laturile opuse paralele ⇒ este paralelogram ⇒ AB = A′B′. ∎
De aceea, într-o prismă, toate muchiile laterale sunt congruente.

Consecințe pentru două plane paralele

Fie α ∥ β.

  • O dreaptă care intersectează unul dintre plane îl intersectează și pe celălalt.
  • Orice dreaptă inclusă în unul dintre plane este paralelă cu celălalt plan.
  • O dreaptă paralelă cu unul dintre plane este paralelă cu celălalt sau inclusă în el.
  • Un plan care intersectează unul dintre plane îl intersectează și pe celălalt (după drepte paralele – Teorema 6).
  • Prin orice punct al planului β trec drepte paralele cu α: toate sunt în β.

Extindere: teorema lui Thales în spațiu

Teoremă. Trei plane paralele determină pe două drepte secante segmente proporționale.
Scriere matematică
α ∥ β ∥ γ
d1 taie α, β, γ în A, B, C
d2 taie α, β, γ în A′, B′, C′
⇒
ABBC = A′B′B′C′
Demonstrație
Fie M = AC′ ∩ β.
Planul (ACC′) taie β și γ după BM ∥ CC′ (T6) ⇒ în △ACC′: ABBC = AMMC′ (Thales).
Planul (AA′C′) taie α și β după AA′ ∥ MB′ (T6) ⇒ în △C′AA′: A′B′B′C′ = AMMC′.
Deci ABBC = A′B′B′C′. ∎

Construcție: planul prin M paralel cu baza cubului

În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, M este mijlocul lui AA′. Construiți planul α prin M, paralel cu (ABC), și aflați ce figură determină pe cub.

Planul (ABB′) taie planele paralele α și (ABC) după drepte paralele ⇒ prin M ducem MN ∥ AB, N ∈ BB′.
Analog, în fața (BCC′): NP ∥ BC, P ∈ CC′; în fața (CDD′): PQ ∥ CD, Q ∈ DD′.
ABNM paralelogram ⇒ MN = AB = 6 cm; la fel NP = PQ = QM = 6 cm.
Secțiunea MNPQ este un pătrat cu latura 6 cm (congruent cu baza), iar N, P, Q sunt mijloacele muchiilor laterale.

Exemplu rezolvat: secțiune paralelă cu baza piramidei

VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu AB = 12 cm. Un plan paralel cu baza intersectează muchiile VA, VB, VC, VD în M, N, P, Q, cu VM = 13VA. Aflați perimetrul secțiunii MNPQ.

(MNP) ∥ (ABC)
(VAB) ∩ (MNP) = MN
(VAB) ∩ (ABC) = AB
⇒
MN ∥ AB Teorema 6
În △VAB, MN ∥ AB ⇒ MNAB = VMVA = 13 ⇒ MN = 4 cm (teorema fundamentală a asemănării).
Analog NP = PQ = QM = 4 cm și MNPQ are unghiurile drepte (laturile sunt paralele cu ale pătratului ABCD).
MNPQ este pătrat cu latura 4 cm ⇒ perimetrul = 16 cm.

Exemplu rezolvat: în prisma triunghiulară

ABCA′B′C′ este o prismă triunghiulară regulată cu AB = 6 cm. Pe muchiile laterale se iau punctele M ∈ AA′, N ∈ BB′, P ∈ CC′ astfel încât AM = BN = CP.

a) Arătați că (MNP) ∥ (ABC).
AM ∥ BN și AM = BN ⇒ ABNM paralelogram ⇒ MN ∥ AB ⇒ MN ∥ (ABC).
Analog NP ∥ BC ⇒ NP ∥ (ABC).
MN ∥ (ABC)
NP ∥ (ABC)
MN ∩ NP = {N}
⇒
(MNP) ∥ (ABC)
b) Calculați aria triunghiului MNP.
MN = AB, NP = BC, PM = CA ⇒ △MNP ≡ △ABC, echilateral cu latura 6 cm.
A△MNP = 62√34 = 9√3 cm².

Verifică-te!

1. Dacă dreapta d și planul α nu au niciun punct comun, atunci:

Definiția dreptei paralele cu un plan.

2. O dreaptă care are două puncte comune cu un plan este:

Axiomă: dreapta este inclusă în plan.

3. În cub, dreapta A′C′ față de planul (ABC) este:

A′C′ ∥ AC ⊂ (ABC).

4. În cub, dreapta BD′ față de planul (ABC) este:

BD′ ∩ (ABC) = {B}.

5. Dacă d ∥ α, atunci d este paralelă cu:

Doar cu intersecțiile planelor prin d cu α (Teorema 2).

6. Ca să arătăm că α ∥ β, ajunge ca α să conțină:

Criteriul de paralelism al planelor (Teorema 3).

7. Două plane paralele sunt tăiate de un al treilea plan. Dreptele de intersecție sunt:

Teorema 6.

8. Prin punctul A ∉ α trec câte plane paralele cu α?

Teorema 4.

9. Prin punctul A ∉ α trec câte drepte paralele cu α?

Toate dreptele prin A din planul paralel cu α.

10. Fețele (ABB′) și (DCC′) ale cubului sunt:

Fețe opuse ale cubului.

Ce am învățat

T1 criteriul dreaptă–plan
d ⊄ α
a ⊂ α
d ∥ a
⇒
d ∥ α
T2 proprietatea dreptei paralele cu un plan
d ∥ α
d ⊂ β
β ∩ α = a
⇒
d ∥ a
T3 criteriul planelor paralele
a, b ⊂ α
a ∩ b = {P}
a ∥ β
b ∥ β
⇒
α ∥ β
T4 planul paralel printr-un punct
A ∉ β
⇒
un singur plan α ∋ A, α ∥ β
T5 tranzitivitatea
α ∥ β
β ∥ γ
α ≠ γ
⇒
α ∥ γ
T6 plane paralele tăiate de un plan
α ∥ β
γ ∩ α = a
γ ∩ β = b
⇒
a ∥ b
T7 segmente paralele între plane paralele
α ∥ β
A, A′ ∈ α; B, B′ ∈ β
AB ∥ A′B′
⇒
AB = A′B′
Def. dreaptă / plane paralele
d ∩ α = ∅
⇒
d ∥ α
α ∩ β = ∅
⇒
α ∥ β

Temă

Temă

  1. În cubul ABCDA′B′C′D′ arătați că AB′ ∥ (DCC′), A′C′ ∥ (ACD′) și (AB′D′) ∥ (BC′D).
  2. VABC este un tetraedru regulat cu muchia 9 cm, iar M ∈ VA, VM = 3 cm. Planul prin M paralel cu (ABC) taie VB, VC în N, P. Aflați perimetrul triunghiului MNP.
  3. ABCDA′B′C′D′ este un paralelipiped dreptunghic, iar M, N sunt mijloacele muchiilor AB, BC. Arătați că MN ∥ (A′C′D).