Drepte în spațiu
Geometrie în spațiu · Clasa a VIII-a

Poziții relative a două drepte în spațiu.
Unghiul a două drepte

Drepte coplanare și necoplanare · drepte paralele · unghiul a două drepte · drepte perpendiculare
① Ne reamintim② Poziții relative③ Unghiul a două drepte④ Exemple rezolvate⑤ Construcții 3D⑥ Exerciții⑦ Verifică-te

Navigare: ← → sau butoanele de jos · desenele 3D se rotesc dacă le tragi · ✏️ scrie pe slide

Ne reamintim: drepte în plan, determinarea planului

Două drepte distincte dintr-un plan pot fi:

P concurente
a ∩ b = {P}
paralele
a ∥ b, a ∩ b = ∅

În plan, două drepte fără puncte comune sunt întotdeauna paralele.

Un plan este determinat de:

  • trei puncte necoliniare: planul (ABC);
  • o dreaptă și un punct exterior ei;
  • două drepte concurente;
  • două drepte paralele.
Notăm planele cu litere grecești α, β, … sau prin trei puncte necoliniare: (ABC).

Situație-problemă

În cubul ABCDA′B′C′D′ privim dreptele a = AB și b = CC′.

Se intersectează? Sunt paralele?

✗ Nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi.
✗ Nu sunt nici paralele: AB ∥ DC, iar DC intersectează pe CC′ în C.
Atunci nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă!
În spațiu apare o a treia poziție a două drepte. 🤔

Drepte coplanare și drepte necoplanare

Definiție. Două drepte se numesc coplanare dacă există un plan care le conține pe amândouă.
Două drepte care nu sunt coplanare se numesc necoplanare.
Exemplu 1. AB și CD sunt coplanare: amândouă sunt în planul (ABC).
Exemplu 2. AB și CC′: planul (ABC) conține AB, dar nu și pe CC′…
… planul (ABB′) conține AB, dar nu și pe CC′. Niciun plan nu le conține pe amândouă ⇒ AB și CC′ sunt necoplanare.

Pozițiile relative a două drepte distincte în spațiu

concurente

coplanare, un singur punct comun

a ∩ b = {P}

paralele

coplanare, niciun punct comun

a ∥ b

necoplanare

nu există un plan care să le conțină

a ∩ b = ∅, dar a ∦ b

⚠️ Două drepte fără puncte comune pot fi paralele sau necoplanare. Doar dreptele coplanare fără puncte comune sunt paralele.

Explorează în cub

Alege o pereche, spune poziția dreptelor, apoi verifică.

Teorema: tranzitivitatea paralelismului

Teoremă. Două drepte distincte, paralele cu o a treia dreaptă, sunt paralele între ele:
a ∥ b și b ∥ c ⇒ a ∥ c
AB ∥ DC (ABCD pătrat)
DC ∥ D′C′ (DCC′D′ pătrat)
⇒ AB ∥ D′C′, deci A, B, C′, D′ sunt coplanare, iar ABC′D′ este paralelogram (chiar dreptunghi).
Folosim teorema ca să găsim paralele la o dreaptă dată – exact ce ne trebuie la unghiul a două drepte.

Cum recunoaștem două drepte necoplanare?

Criteriu. Dacă dreapta a este inclusă în planul α, iar dreapta b intersectează planul α într-un punct care nu aparține lui a, atunci a și b sunt necoplanare.

În piramida patrulateră VABCD:

BC ⊂ (ABC)
VA ∩ (ABC) = {A}
A ∉ BC ⇒ VA și BC sunt necoplanare.

Exercițiu: piramida patrulateră

VABCD este o piramidă patrulateră regulată, iar M, N sunt mijloacele muchiilor VA, VB. Stabiliți poziția dreptelor:

a) VA și VC
→ concurente (în V)
b) AB și CD
→ paralele (laturi opuse ale pătratului)
c) VB și CD
→ necoplanare: CD ⊂ (ABC), VB ∩ (ABC) = {B}, B ∉ CD
d) MN și CD
→ paralele: MN ∥ AB (linie mijlocie) și AB ∥ CD
e) MN și VC
→ necoplanare: MN ⊂ (VAB), VC ∩ (VAB) = {V}, V ∉ MN

Unghiul a două drepte în spațiu

Definiție. Unghiul a două drepte necoplanare a și b este unghiul format de două drepte concurente a′ ∥ a și b′ ∥ b.
  • pentru drepte concurente: unghiul cel mai mic format de ele;
  • pentru drepte paralele: ∢(a, b) = 0°;
  • întotdeauna 0° ≤ ∢(a, b) ≤ 90°.
Exemplu. ∢(AB, CD′) = ? Mutăm dreapta AB paralel, în DC, ca să întâlnească pe CD′.
∢(AB, CD′) = ∢(DC, CD′) = m(∢DCD′) = 45° (diagonala pătratului face 45° cu latura).

Drepte perpendiculare în spațiu

Definiție. Dreptele a și b sunt perpendiculare dacă ∢(a, b) = 90°. Notăm a ⊥ b.
AB și CC′ sunt necoplanare. Mutăm AB în DC:
∢(AB, CC′) = ∢(DC, CC′) = 90° ⇒ AB ⊥ CC′
Două drepte perpendiculare în spațiu nu trebuie să se intersecteze! Pot fi concurente sau necoplanare.
Muchia laterală a cubului (AA′, BB′, …) este perpendiculară pe toate muchiile bazelor.

Cum calculăm unghiul a două drepte?

Pașii

  1. Stabilim poziția dreptelor (dacă sunt paralele, unghiul este 0°).
  2. Alegem o paralelă la una dintre drepte care să intersecteze cealaltă dreaptă.
  3. Identificăm triunghiul în care apare unghiul.
  4. Calculăm unghiul: triunghi echilateral (60°), dreptunghic isoscel (45°), reciproca teoremei lui Pitagora (90°), funcții trigonometrice.

Unde găsim paralele?

  • laturile opuse ale unui paralelogram (pătrat, dreptunghi, romb);
  • linia mijlocie într-un triunghi: MN ∥ BC;
  • în cub / paralelipiped: muchiile paralele și diagonalele paralele ale fețelor opuse (A′B ∥ D′C);
  • tranzitivitatea: a ∥ b, b ∥ c ⇒ a ∥ c.

Exemple rezolvate (1): în cub

În cubul ABCDA′B′C′D′ calculați:

a) ∢(AB, C′D′)
AB ∥ C′D′ ⇒ 0°
b) ∢(AA′, BC)
AA′ ∥ BB′ ⇒ ∢(BB′, BC) = 90°
c) ∢(AB, A′C′)
A′C′ ∥ AC ⇒ m(∢BAC) = 45°
Dreptele din b) sunt necoplanare și totuși perpendiculare: AA′ ⊥ BC.

Exemple rezolvate (2): un unghi de 60°

În cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia l, calculați ∢(AB′, BC′).

1. ABC′D′ este dreptunghi ⇒ BC′ ∥ AD′.
2. ∢(AB′, BC′) = ∢(AB′, AD′) = m(∢B′AD′)
3. AB′ = AD′ = B′D′ = l√2 (diagonale ale unor fețe) ⇒ △AB′D′ echilateral.
∢(AB′, BC′) = 60°

Exemple rezolvate (3): piramida cu toate muchiile egale

Piramida patrulateră regulată VABCD are toate muchiile egale cu a.

a) ∢(VA, BC)

BC ∥ AD ⇒ ∢(VA, BC) = m(∢VAD); △VAD echilateral ⇒ 60°

b) ∢(VA, VC)

VA = VC = a, AC = a√2 ⇒ VA2 + VC2 = 2a2 = AC2
Reciproca teoremei lui Pitagora ⇒ m(∢AVC) = 90°, deci VA ⊥ VC.

Exemple rezolvate (4): cu funcții trigonometrice

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 8 cm, BC = 6 cm, AA′ = 5 cm. Calculați cos(∢(A′C′, CD)).

A′C′ ∥ AC (ACC′A′ dreptunghi) ⇒ ∢(A′C′, CD) = m(∢ACD)
△ADC dreptunghic în D: AC = √62 + 82 = 10 cm
cos(∢ACD) = CDAC = 810 = 45
Unghiul nu este „unul cunoscut”, dar îl putem descrie prin sin, cos sau tg.

Construiește tu unghiul

Atinge o dreaptă paralelă cu AC sau cu B′C′, care o intersectează pe cealaltă.

Determinați ∢(AC, B′C′).

  1. Rotește cubul ca să vezi bine dreptele.
  2. Atinge o muchie sau o diagonală a unei fețe care este paralelă cu una dintre drepte și o intersectează pe cealaltă.
  3. Apare unghiul căutat. Justifică-i măsura!
Rezolvare: B′C′ ∥ BC (sau B′C′ ∥ AD), deci ∢(AC, B′C′) = m(∢ACB) = 45° – diagonala pătratului face 45° cu latura.

Construiește tu unghiul

Atinge o dreaptă paralelă cu AB′ sau cu BC′, care o intersectează pe cealaltă.

Determinați ∢(AB′, BC′) – găsește altă cale decât în exemplu!

  1. Rotește cubul ca să vezi bine dreptele.
  2. Atinge o muchie sau o diagonală a unei fețe care este paralelă cu una dintre drepte și o intersectează pe cealaltă.
  3. Apare unghiul căutat. Justifică-i măsura!
Rezolvare: AB′ ∥ DC′ ⇒ ∢ = m(∢BC′D); sau BC′ ∥ AD′ ⇒ ∢ = m(∢B′AD′). Triunghiurile BC′D și AB′D′ au laturile diagonale ale fețelor ⇒ echilaterale ⇒ 60°.

Construiește tu unghiul

Atinge o dreaptă paralelă cu A′C′ sau cu BD, care o intersectează pe cealaltă.

Determinați ∢(A′C′, BD).

  1. Rotește cubul ca să vezi bine dreptele.
  2. Atinge o muchie sau o diagonală a unei fețe care este paralelă cu una dintre drepte și o intersectează pe cealaltă.
  3. Apare unghiul căutat. Justifică-i măsura!
Rezolvare: A′C′ ∥ AC (sau BD ∥ B′D′) ⇒ ∢(A′C′, BD) = ∢(AC, BD) = 90° – diagonalele pătratului sunt perpendiculare. Deci A′C′ ⊥ BD, deși sunt necoplanare.

Exercițiul 1 · prisma patrulateră regulată

Prisma patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ are AB = 6 cm și AA′ = 6√3 cm.

a) Stabiliți poziția dreptelor A′C′ și BD.
💡 Au puncte comune? Sunt paralele? (A′C′ ∥ AC)
✔ necoplanare: nu au puncte comune și nu sunt paralele, deoarece A′C′ ∥ AC, iar AC ∦ BD.
b) Calculați ∢(A′C′, BD).
✔ A′C′ ∥ AC ⇒ ∢(AC, BD) = 90° (diagonalele pătratului ABCD).
c) Calculați ∢(CD, A′B).
💡 CD ∥ AB
✔ ∢(AB, A′B) = m(∢ABA′); tg(∢ABA′) = AA′AB = √3 ⇒ 60°.

Exercițiul 2 · tetraedrul regulat

VABC este un tetraedru regulat (toate muchiile au 6 cm). M, N, P sunt mijloacele muchiilor VA, VB, BC.

a) Calculați ∢(MN, AC).
💡 MN este linie mijlocie în △VAB.
✔ MN ∥ AB ⇒ ∢(AB, AC) = 60°.
b) Calculați ∢(NP, VA).
💡 NP este linie mijlocie în △VBC.
✔ NP ∥ VC ⇒ ∢(VC, VA) = 60°.
c) Avansat Arătați că VA ⊥ BC.
💡 Fie R, Q, S mijloacele lui VC, AC, AB. Calculați laturile △RQS.
✔ RQ ∥ VA, QS ∥ BC, RQ = QS = 3 cm; RA = RB = 3√3 cm ⇒ RS = √27 − 9 = 3√2 cm; RQ2 + QS2 = 18 = RS2 ⇒ m(∢RQS) = 90° ⇒ VA ⊥ BC.

Exercițiul 3 · prisma triunghiulară regulată

Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are toate muchiile egale cu 6 cm.

a) Stabiliți poziția dreptelor A′B′ și AC.
✔ necoplanare: nu au puncte comune (A′B′ e în baza de sus), iar A′B′ ∥ AB, AB ∦ AC.
b) Calculați ∢(A′B′, AC).
✔ A′B′ ∥ AB ⇒ m(∢BAC) = 60°.
c) Calculați ∢(AB′, CC′).
💡 CC′ ∥ BB′
✔ ∢(AB′, BB′) = m(∢AB′B) = 45° (ABB′A′ este pătrat).
d) Calculați ∢(AA′, BC).
✔ AA′ ∥ BB′ și BB′ ⊥ BC ⇒ 90°.

Verifică-te!

1. În cubul ABCDA′B′C′D′, dreptele AD și B′C′ sunt:

AD ∥ BC ∥ B′C′.

2. În cubul ABCDA′B′C′D′, dreptele AB și CC′ sunt:

CC′ înțeapă planul (ABC) în C ∉ AB.

3. Dacă dreptele distincte a și b nu au puncte comune, atunci:

În spațiu sunt posibile ambele situații.

4. În cub, ∢(AB, B′C′) este:

B′C′ ∥ BC, iar AB ⊥ BC.

5. În cub, ∢(A′B, AD′) este:

AD′ ∥ BC′, iar △A′BC′ este echilateral.

6. Măsura unghiului a două drepte în spațiu poate fi 120°?

Unghiul a două drepte are cel mult 90°.

Ce am învățat · Temă

Pe scurt

  • Două drepte distincte în spațiu: concurente, paralele (amândouă coplanare) sau necoplanare.
  • Criteriu: a ⊂ α, b ∩ α = {P}, P ∉ a ⇒ a, b necoplanare.
  • a ∥ b, b ∥ c ⇒ a ∥ c.
  • Unghiul a două drepte: înlocuim o dreaptă cu o paralelă care o intersectează pe cealaltă; 0° ≤ ∢(a, b) ≤ 90°.
  • a ⊥ b ⇔ ∢(a, b) = 90° – chiar dacă dreptele nu se intersectează.

Temă

  1. În cubul ABCDA′B′C′D′ stabiliți poziția dreptelor: AD′ și BC; A′C și BD′; AB′ și CD′.
  2. În același cub calculați: ∢(AD′, BD), ∢(A′C′, B′C), ∢(AB, B′D′).
  3. Piramida patrulateră regulată VABCD are toate muchiile de 8 cm. Calculați ∢(VB, AD) și ∢(VB, VD).