Etapa0:00
Lecția00:00 / 50:00
Matematică · Clasa a VIII-a

Inecuații de forma
ax + b > 0

(≥, <, ≤), unde a, b ∈ ℝ
2′ Moment organizatoric4′ Captarea atenției6′ Reactualizarea cunoștințelor2′ Anunțarea temei18′ Dirijarea învățării11′ Obținerea performanței4′ Retenție și transfer3′ Evaluare

Ion are o problemă…

Liftul poate transporta cel mult 450 kg. Ion cântărește 75 kg și vrea să urce cu el cutii de câte 25 kg.

Câte cutii poate lua Ion deodată?

Notăm cu x numărul de cutii. Masa totală este 75 + 25x.

75 + 25x ≤ 450

Ce fel de relație am obținut? 🤔

Nu este o ecuație (=), ci o inegalitate care conține o necunoscută.

Ne amintim (1)

a) Rezolvați ecuația

3x − 6 = 0

3x = 6 ⇒ x = 2

b) Știm că a < b. Comparați:

a + 3 … b + 3  ⟶  a + 3 < b + 3

2a … 2b  ⟶  2a < 2b

−2a … −2b  ⟶  −2a > −2b sensul s-a schimbat!

Verificare: 2 < 5, dar −4 > −10.

Ne amintim (2)

c) Scrieți ca interval mulțimea numerelor reale:

x ≥ 2
−3−2−10123456
[2; +∞)
x < −1
−5−4−3−2−101234
(−∞; −1)
Regula zilei: dacă înmulțim sau împărțim o inegalitate cu un număr negativ, sensul ei se schimbă.

Tema lecției

Inecuații de forma ax + b > 0 (≥, <, ≤), a, b ∈ ℝ

La sfârșitul orei vei ști să:

  • recunoști o inecuație de forma ax + b > 0 și să verifici dacă un număr este soluție;
  • obții inecuații echivalente, având grijă la schimbarea sensului;
  • rezolvi inecuații în ℝ și să scrii soluția ca interval;
  • găsești soluțiile în ℕ sau ℤ;
  • rezolvi probleme practice (îl ajuți pe Ion!).

Definiție

Definiție. Se numește inecuație de forma ax + b > 0 orice inegalitate de această formă, unde a, b ∈ ℝ, a ≠ 0, iar x este necunoscuta. La fel pentru semnele ≥, <, ≤.

Sunt inecuații de această formă (după eventuale calcule)?

2x − 5 > 0✓ da
3x + 1 = 7✗ ecuație
−x + 4 ≤ 0✓ da
x2 > 1✗ apare x²
75 + 25x ≤ 450✓ da (Ion!)
0 · x + 3 > 0✗ a = 0

Ce este o soluție?

Un număr real este soluție a inecuației dacă, înlocuit în locul lui x, obținem o inegalitate adevărată.

Ion ia x = 5 cutii

75 + 25 · 5 = 200 ≤ 450 ✓

Ion ia x = 20 cutii

75 + 25 · 20 = 575 ≤ 450 ✗

O inecuație are, de obicei, mai multe soluții. A rezolva inecuația înseamnă a găsi mulțimea S a tuturor soluțiilor.

Inecuații echivalente

Două inecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții. Le obținem cu următoarele reguli:
±
Adunăm sau scădem același număr în ambii membri
sensul rămâne
x − 3 < 5 ⇔ x < 8
×:(+)
Înmulțim sau împărțim cu un număr pozitiv
sensul rămâne
2x ≥ 10 ⇔ x ≥ 5
×:(−)
Înmulțim sau împărțim cu un număr negativ
sensul se schimbă!
−3x > 12 ⇔ x > −4

Rezolvăm pas cu pas (1)

2x − 6 > 0
2x > 6adunăm 6 în ambii membri
x > 3împărțim la 2 (pozitiv) – sensul rămâne
−2−1012345678
S = (3; +∞)

Cazul general

ax + b > 0 ⇔ ax > −b

dacă a > 0

x > −ba

S = (−ba; +∞)

sensul rămâne

dacă a < 0

x < −ba

S = (−∞; −ba)

sensul se schimbă

La fel procedăm pentru ≥, <, ≤ (atenție la paranteza dreaptă pentru ≥ și ≤).

Rezolvăm pas cu pas (2)

−3x + 12 ≥ 0
−3x ≥ −12scădem 12
x ≤ 4împărțim la −3 (negativ) ⚠ sensul se schimbă!
−2−1012345678
S = (−∞; 4]

La tablă! (3)

5x + 2 < 3x − 4
5x − 3x < −4 − 2termenii cu x într-un membru, numerele în celălalt
2x < −6
x < −3împărțim la 2 (pozitiv)
−7−6−5−4−3−2−1012
S = (−∞; −3)

Înapoi la Ion!

75 + 25x ≤ 450
25x ≤ 375
x ≤ 15

Dar x este un număr de cutii, deci x ∈ ℕ: x ∈ {0, 1, 2, …, 15}

Ion poate lua cel mult 15 cutii. 🎉
În ℝ soluția este un interval; în ℕ sau ℤ – o mulțime de numere.

Lucrăm în perechi · Fișa de lucru

1. Care dintre numerele −1, 0, 2, 3 sunt soluții ale inecuației 4x − 7 ≤ 1?

x ≤ 2: soluții sunt −1, 0, 2

2. Completați cu semnul potrivit:

a) x + 5 > 9 ⇔ x … 4 >

b) 3x ≤ 12 ⇔ x … 4 ≤

c) −2x < 8 ⇔ x … −4 >

d) −x3 ≥ 1 ⇔ x … −3 ≤

Fișa de lucru · Exercițiul 3

Rezolvați în ℝ și scrieți soluția ca interval:

a) 2x − 8 > 0

x > 4, S = (4; +∞)

b) −5x + 10 ≥ 0

x ≤ 2, S = (−∞; 2]

c) 3x + 1 < x − 7

2x < −8 ⇒ x < −4, S = (−∞; −4)

d) 4 − x ≤ 2x + 13

−3x ≤ 9 ⇒ x ≥ −3, S = [−3; +∞)

Fișa de lucru · Exercițiile 4 și 5

4. Rezolvați:

în ℕ: 3x − 2 < 10 x < 4: {0, 1, 2, 3}

în ℤ: −2x + 1 ≥ −5 x ≤ 3: {…, 1, 2, 3}

5. Serbarea școlii

Sala are 320 de locuri, 86 sunt deja ocupate. Fiecare clasă primește un rând cu 9 locuri. Câte clase pot participa cel mult?

86 + 9x ≤ 320 ⇒ 9x ≤ 234 ⇒ x ≤ 26

cel mult 26 de clase

Pentru cei rapizi ⚡

6. Rezolvați în ℝ:

x − 12 ≥ x + 23

3x − 3 ≥ 2x + 4 ⇒ x ≥ 7, S = [7; +∞)

7. Cel mai mare număr întreg care verifică

5(x − 2) < 2x + 4

3x < 14 ⇒ x < 143 ≈ 4,67 ⇒ 4

Ce am învățat azi

  1. Ducem termenii cu x într-un membru și numerele în celălalt.
  2. Reducem termenii asemenea: obținem a · x … număr.
  3. Împărțim la a: dacă a < 0, întoarcem semnul!
  4. Scriem soluția: interval în ℝ, mulțime de numere în ℕ sau ℤ.
Temă: Anexa 3 – exercițiile 1, 2, 3 (opțional 4).
<

Bilet de ieșire

1. Rezolvați în ℝ: 3x − 9 ≥ 0 și reprezentați soluția pe axă.

2. Rezolvați în ℝ: −4x > 8. Ce s-a întâmplat cu sensul? De ce?

3. Scrieți soluțiile naturale ale inecuației 2x + 3 ≤ 11.

Timp
3:00

Felicitări! 🎉

Ion a urcat cu toate cele 15 cutii.
Ne vedem la ora următoare!

1 / 1