Drumul minim pe suprafața piramidei regulate

Fișă de lucru · Clasa a VIII-a ------prof.Lukacs Tiberiu
Nume și prenume:Clasa:Data:
Metoda. Desfășurăm în același plan fețele pe care trece drumul. În desfășurare, drumul minim dintre două puncte este segmentul care le unește; lungimea lui se calculează cu teorema lui Pitagora, cu proprietățile triunghiurilor echilaterale sau dreptunghice cu unghiuri de 30° și 60°, ori cu asemănarea.

Fiecare piramidă se rotește . „Desfășoară” întinde în același plan exact fețele pe care trece drumul;

Problema 1.Consolidat

Tetraedrul regulat VABC are muchia de 12 cm. Pe muchia VC se consideră punctul P astfel încât VP = 4 cm. O furnică pleacă din A, merge pe fețele VAB și VBC și ajunge în P.

  1. a) Desenați desfășurarea fețelor VAB și VBC în același plan și precizați măsura unghiului AVC din desfășurare.
  2. b) Calculați lungimea drumului minim parcurs de furnică.
  3. c) Drumul minim intersectează muchia VB în punctul Q. Calculați lungimea segmentului VQ.
Se desfășoară: fețele VAB și VBC. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 2.Avansat

Piramida patrulateră regulată VABCD are toate muchiile de 8 cm.

  1. a) Desfășurați fețele VAB și VBC în același plan și arătați că patrulaterul obținut, VABC, este romb.
  2. b) Calculați lungimea drumului minim de la A la C pe suprafața laterală, care traversează muchia VB.
  3. c) Arătați că acest drum intersectează muchia VB în mijlocul ei.
  4. d) Comparați lungimea drumului minim cu lungimea diagonalei AC a bazei.
Se desfășoară: fețele VAB și VBC. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Drumul minim pe suprafața piramidei · Clasa a VIII-a · pagina 1Fișă de lucru

Problema 3.Avansat

Piramida patrulateră regulată VABCD are muchia laterală VA = 6 cm și m(∢AVB) = 30°. Un fir elastic pornește din A, înconjoară piramida trecând pe toate cele patru fețe laterale și revine în A.

  1. a) Desfășurați suprafața laterală în jurul vârfului V (punctul A apare de două ori: A și A′) și aflați m(∢AVA′).
  2. b) Calculați lungimea minimă a firului.
  3. c) Pentru poziția de lungime minimă, firul intersectează muchiile VB, VC și VD în punctele X, Y, respectiv Z. Calculați VY și VX.
Se desfășoară: toate fețele laterale. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 4.Avansat

Piramida triunghiulară regulată VABC are VA = 8 cm și m(∢AVB) = 40°. Se consideră punctele M ∈ (VB) și N ∈ (VC).

  1. a) Desfășurați suprafața laterală în jurul vârfului V și aflați m(∢AVA′), unde A′ este a doua poziție a punctului A.
  2. b) Determinați valoarea minimă a perimetrului triunghiului AMN.
  3. c) Arătați că, pentru poziția punctelor M și N care dă perimetrul minim, VM = VN.
Se desfășoară: toate fețele laterale. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Drumul minim pe suprafața piramidei · Clasa a VIII-a · pagina 2Fișă de lucru

Problema 5.Avansat

Piramida patrulateră regulată VABCD are toate muchiile de 6 cm, iar M este mijlocul muchiei VC. O furnică merge pe suprafața piramidei de la A la M și are de ales între două trasee.

  1. a) Traseul 1 trece pe fețele VAB și VBC (traversează muchia VB). Calculați lungimea minimă a acestui traseu.
  2. b) Traseul 2 trece pe bază și pe fața VBC (traversează muchia BC). Calculați lungimea minimă a acestui traseu.
  3. c) Stabiliți care dintre cele două trasee este mai scurt.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 6.Avansat

Un acoperiș are forma suprafeței laterale a unei piramide hexagonale regulate VABCDEF, cu VA = 9 m și m(∢AVB) = 20°. O pisică pleacă din colțul A și ajunge în colțul opus D, mergând pe acoperiș.

  1. a) Desfășurați fețele VAB, VBC și VCD în același plan (cu D′ poziția punctului D) și arătați că triunghiul AVD′ este echilateral.
  2. b) Calculați lungimea drumului minim al pisicii.
  3. c) Comparați acest drum cu drumul care trece prin vârful acoperișului, pe muchiile VA și VD.
Se desfășoară: fețele VAB, VBC, VCD. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Drumul minim pe suprafața piramidei · Clasa a VIII-a · pagina 3Fișă de lucru